صفحات بلورشناسی

در سال 1818 میلادی فردی به نام وایس روشی جهت نمایش صفحات اتمی ارائه داد. صفحات بلور شناسی در روش وایس توسط نسبت های مستقیم محل های تقاطع صفحه و محورهای بلور شناسی به صورت d:e:f نمایش داده می شود که d محل تقاطع صفحه و محور e ،a محل تقاطع صفحه و محور b و f محل تقاطع صفحه و محور c می باشد. به عنوان مثال همان طور که شکل 1 نشان می دهد، صفحه بالایی یک شبکه مکعبی محور a و b را در بی نهایت و محور را در 1 قطع می کند. بنابراین پارامترهای وایس برابر ∞b،∞a و 1c می باشند و چون در شبکه مکعبی طول هر سه محور بلور شناسی در یک سلول واحد برابر a₀ است، پارامترهای وایس به صورت 1a₀: ∞ : ∞ نمایش داده می شود. صفحه نمایش داده شده در شکل 2 محور a و b را در 1 و محور c را در بی نهایت قطع می کند. بنابراین پارامترهای وایس برابر 1a، 1b, ∞c می باشند. با توجه به این که شبکه مکعبی است، این صفحه به کمک پارامتر های وایس به صورت a₀: a₀ : ∞ نمایش داده می شود.

شکل 3 صفحه ای را نمایش می دهد که هر سه محور بلور شناسی را در 1 قطع می کند. بنابراین پارامتر های وایس این شبکه برابر 1a، 1b و 1c می باشند و به صورت a₀:a₀:a₀ نمایش داده می شود. دو نکته قابل ذکر است؛ (1) پارامترهای وایس مقادیر نسبی هستند و طول واقعی را نمایش نمی دهند و (2) به علت این که پارامترهای وایس نسبی هستند، یک صفحه می تواند به موازات خودش، بدون این که پارامترهای وایس آن تغییر کند، حرکت کند.

نکته قابل توجه این است که اگر مرکز مختصات درون صفحه مورد نظر قرار داشت، باید مرکز مختصات را به مکان دیگر، مثلا به بالا یا پایین انتقال داد. جهت تعیین اعداد میلر صفحه شکل روبرو در مرحله اول امتداد صفحه مورد نظر رسم می شود. در مرحله دوم محل تقاطع ها اندازه گیری می شود که سه عدد d، e و f به دست می آید. در مرحله سوم اعداد معکوس می شوند و سه عدد  به دست می آید. در مرحله چهارم اعداد فوق بر d.e.f ضرب می شوند و سه عدد e.f، d.f و d.e حاصل می شود. بنابراین پارامتر میلر صفحه شکل برابر (d.e d.f e.f) خواهد بود. در شبکه مکعبی به علت اینکه در طول محورهای بلور شناسی در یک سلول واحد برابرند، جهت سادگی تعیین اندیس های میلر صفحات، پارامتر شبکه برابر واحد در نظر گرفته می شود. به عنوان مثال در یک شبکه مکعبی، اگر صفحه ای محورهای بلور شناسی را در نقاط 1، 1 و ∞ قطع سازد، معکوس سه عدد فوق، اعداد 1،1 و 0 خواهد بود. بنابراین اندیس ها یا پارامترهایمیلر این صفحه برابر (110) خواهد بود.

بعضی مواقع ممکن است که امتداد صفحات اتمی محورهای بلور شناسی را در قسمت منفی قطع کند، بنابراین اندیس های میلر بر اساس اعداد منفی انجام می گیرد. به عنوان مثال اگر صفحه ای محور a را در 1، محور b را در 0.5 و محور c را در 0.5- قطع کند، اندیس های میلر آن به صورت  خواهد بود. با توجه به این که اختیار کردن مرکز بلور شناسی قرار دادی است، می توان گفت که با تغییر مکان مرکز بلورشناسی از یک گوشه مکعب به گوشه دیگر اندیس های صفحات اتمی تغییر خواهد کرد. به عنوان مثال صفحات (001)، (010) ، (100)،  ،  و  معادل بوده و در یک خانواده قرار می گیرند. برای نمایش مجموعه صفحات فوق از علامت های {} استفاده می شود و مجموعه {100} بیانگر تمام صفحاتی است که دارای یک اندیس 1 و دو اندیس صفر می باشند و به عبارت دیگر تمامی صفحات جانبی مکعب می باشند. در شکل روبرو مجموعه صفحات {100} و صفحه (111) نمایش داده شده است. صفحه (111) هر سه محور بلور شناسی را در فاصله ای به اندازه پارامتر شبکه قطع می سازد.

یکی دیگر از روش های نام گذاری صفحات بلورین روش کسینوس ها می باشد. با توجه به شکل روبرو صفحه ABC را در نظر بگیرید. از مرکز بلور شناسی یا همان نقطه O عمودی بر صفحه ABC رسم شده است و محل برخورد عمود به صفحه، نقطه P نامگذاری می شود. بنابراین سه مثلث قائم الزاویه OPA،OPB  و  OPCبه دست می آید. با در نظر گرفتن مثلث های قائم الزاویه فوق و زوایای  (زاویه دو پاره خط OP و OA) ،  (زوایه بین دو پاره OP و OB) و (زاویه بین دو پاره خط OP و OC)، روابط کسینوسی زیر را می توان نوشت؛

اگر نسبت های بین سه کسینوس فوق در نظر گرفته شود، روابط زیر نتیجه می شوند؛

با در نظر گرفتن اندیس های میلر در شبکه های مکعبی، یعنی عکس طول سه پاره خط OA، OB و OC می توان نوشت؛